Exercícios (Exponencial)

1) Determine o conjunto verdade das equações exponenciais:
a) 2^x = 8
b) 2^x = 64
c) 25^x = 125

d) 7^x = 343
e)

2)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 3^x+1 + 3^x+2=12
b) 2^{x +1} + 2^{x + 3} =20
c) 7^x-1 +7^x+1=50
d) 5^x-1 +5^x-3=26

3)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 2^2x – 9.2^x + 8 =0
b) 4^x – 3.2^x + 2 =0

c)25^x – 30.5^x = -125

RESPOSTAS:

1) Questão:

1º tipo de resolução:

Para resolver esse tipo de equações exponenciais as bases devem ser iguais, para isso igualamos as bases.

a)
2^x = 8        (fatorando o 8 para igualar as bases);

2^x = 2³      (agora igualando os expoentes);

x=3

s={3}  ( solução ou  conjunto verdade)

b) 

2^x = 64     (fatorando o 64 e igualando as bases); 

2^x = 2⁶       (igualando os expoentes);

x=6

s={6}

c) 

25^x = 125      (fatorando os dois membros para igualar as bases )

(5²)^x = 5³         (igualando os expoentes)

2x = 3

d) 
7^x = 343  

7^x = 7³

x= 3  

s={3} 

e)
 

2^x = 2^-5

x= -5

s={-5}



2) Questão

2º tipo de resolução:

Trocamos  uma variável (letra) por outra variável, que chamamos de mudança de base.
Estudem as propriedades das potências: (a^m .aⁿ = a^m+n)

a) 
3^x+1 + 3^x+2=12               (separando cada termo com potência de mesma base);

3^x . 3¹ + 3^x . 3²=12        ( troco 3^x  por uma letra qualquer. Usando  y, ficando assim: 3^x= y);

y . 3¹  +  y . 3²=12          (substituindo na equação y por 3^x );

3y + 9y = 12

12y = 12

      
y=1                      (substituindo y=1 para obter o valor de x)

 3^x= y
3^x = 1  

3^x = 3⁰      

 x= 0                  (igualando os expoentes)

s={ 0}

b) 

2^{x +1} + 2^{x + 3} =20       (separando cada termo com potência de mesma base);

2^x . 2¹ + 2^x .2 ³ =20   ( trocando 2^x  por  y, ficando assim: 2^x= y);

y . 2¹ +  y .2 ³ =20

2y  +  8y  =  20

10y = 20

y= 2     x=1

2^x= y 
2^x= 2

2^x=2¹

x=1

s={1}

c) 
7^x-1 +7^x+1=50

7^x . 7^-1 +7^x. 7¹=50     ( substituindo: 7^x =y )

 y . 7^-1 +y. 7¹=50

50y = 350


y=7

7^x =y 

7^x=7

7^x =7¹

x=1     (igualando os expoentes)

s={1}

d) 

5^x-1 +5^x-3=26   
  

5^x . 5^-1 +5^x . 5^-3=26 



    ( substituindo: 5^x =y )

26y = 3250



y= 125

5^x =y

5^x = 125

5^x = 5³

x = 3

s={3}

3) questão:

3º tipo de resolução:

Além, de fazer a troca de um variável  por outra variável ( mudança de base)  resolver-se a equação do do 2º grau.

a)

2^2x – 9.2^x + 8 =0

(2^x)² – 9. 2^x + 8 = 0        ( 2^x = p )

p² – 9. p + 8 = 0

2^x = p    fazendo a substituição

2^x = p'
2^x = 8

2^x = 2³

x= 3

2^x = p''
2^x = 1

2^x = 2⁰

x= 0

s={0, 3}

b)

4^x – 3.2^x + 2 =0

(2^x)² – 3. 2^x + 2 = 0        ( 2^x = p )

(p)² – 3.p + 2 = 0  

    

 2^x = p

2^x=p'

2^x=2

2^x = 2¹

x=1

2^x = p

2^x=p''

2^x=1

2^x = 2¹

2^x = 2⁰

x=0

s={0, 1}

c) 

25^x – 30.5^x = -125

(5^x)² – 30. 5^x + 125 = 0        ( 5^x = p )

(p)² – 30.p + 125 = 0 

 5^x = p

5^x = p'

5^x = 25

5^x = 5²

x = 2 

 5^x = p
5^x = p''

5^x = 5

5^x = 5¹

x = 1

S={1, 2} 

Agora é com vocês:
1) resolva as equações exponenciais:

a) 4^x=16

b) 25^x = 625

c) 2^x+2 + 2^x-1 = 18

d) 4^x – 12. 2^x = - 32

Respostas:

a) s={2}

b) s={2}

c) s={2}

d) s={2,3}

Vídeo de outros professores (exponencial)

Exponencial

Conceito: Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no expoente de um número real, sendo que esse número precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal condição usando a seguinte definição geral: f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Exercício: 

1) Se x é um número real, resolva a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18:

     

Para resolver a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.

3^2x + 3^{x + 1} = 18 (3^x)² + 3^x · 3¹= 18

Tome y = 3^x. Temos a seguinte equação em função de y:

y² + y · 3¹= 18 y² + 3y – 18 = 0

Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c Δ = 3² – 4.1.(– 18) Δ = 9 + 72 Δ = 81

y = – b ± √Δ
     2.a

y = – 3 ± √81
      2.1

y = – 3 ± 9
      2

y1= -3+9

        2 

y1= 6

       2

y1= 3

y2= -3-9 

          2 

y2= -12 

          2

y2= -6

Voltando à equação y = 3^x, temos:

                Para y₁ = 3

3^x = y 3^x = 3 x₁ = 1

Para y2 = – 6 3x = y 3x = – 6 x2 = Ø

Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.

 

Função Quadrática

Toda função f:R->R definida por f(x)= ax²+bx+c, com aЄR*, bЄR e cЄR é denominada de função quadrática.
ex: a) f(x)= 3x²-7x+8
b) g(x)= -2x²+√¯13x-7
               5                5
c) h(x)= -√¯7x²+8x+ √¯35
                          17
d) t(x)= -13x²+7x
e) u(x)= -x²+7
f) z(x)= x²

Raízes ou zero da função quadrática:

Determine a raiz da função abaixo:
a) f(x)= x²-13x+36
 x= -(-13)± √¯(-13)²-4.1.36 
                     2.1
+13± √¯169-144 
            2
x= +13± √¯25 
             2
x= +13±5 
          2
x¹= +13+5= 18= 9
          2         2 
x²= +13-5= 8= 4
           2       2
Dada a função quadrática f(x)= ax²+bx+c, então o discriminante da função é dado por  Δ= b²-4a.c temos:
I) Quando Δ>0 a função quadrática possui duas raízes reais e distintas.
II) Quando Δ=0 a função quadrática possui duas raízes reais iguais.
III) Quando Δ<0 a função quadrática não possui raiz real.

Exercício:

1. Dada a aplicação f: R->R, definida por f(x)= 1, pergunta-se: Essa aplicação é função?
                                                                         x-1 
Resposta: Não é função pois x=1 não existe valor da chegada associado a este valor.

2. Dada a aplicação f: R->R, definida por f(x)=√x, pergunta-se: Essa aplicação é função?
Resposta: Não é função. Pois existe infinitos valores negativos do conjunto de partida que não estão associados ao conjunto de chegada, vista que não existe raiz quadrada, em R, de números negativos. 

O que é conjunto?

Antes mesmo do homem ter o conceito de número, precisou compreender de onde eles saiam e o que representavam. Desta forma, a ideia de número é posterior a de conjuntos. Você já colecionou fichinhas, brinquedos ou figurinhas para um álbum?  Imagine que um conjunto é exatamente isso, uma coleção de objetos que podem ser classificados pelas características que possuem em comum (Fichinhas, Figurinhas, etc).

Um requisito chave para que um grupo de objetos seja chamado de conjunto, é que seja possível determinar se um objeto especifico pertence ou não a ele. Por exemplo, o grupo de coisas bonitas não é um conjunto, isso porque existem coisas que são bonitas para uns e para outros não.
Se pensamos no conjunto de planetas do sistema solar, os elementos deste conjunto serão precisamente, Mercúrio, Vênus, A Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão.
Representação gráfica dos conjuntos, diagrama de Venn:

Para representar os conjuntos graficamente, podemos usar os diagramas de Venn. Este método consiste em representar os conjuntos por meio de círculos e desenhar no seu interior os elementos que o formam.

Por exemplo, se o conjunto $A$

está formado pelos elementos $1$,  $2$ e  $3$

podemos representá-lo como mostra a figura.
Se dois ou mais conjuntos compartilham elementos, também é possível usar os diagramas de Venn para representar esta situação.

Suponhamos que o conjunto $M$

esteja formado pelas letras $m$, $n$, $p$ e $t$, e que o conjunto $P$ pelas letras $n$, $p$, $q$ e $s$.  Como podemos ver, os conjuntos $M$ e $P$  compartilham os elementos $n$ e $p$, e podem ser representados da seguinte forma: