Exponencial

Conceito: Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no expoente de um número real, sendo que esse número precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal condição usando a seguinte definição geral: f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Exercício: 

1) Se x é um número real, resolva a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18:

     

Para resolver a equação exponencial 3^2x + 3^{x + 1} = 18, reescreveremos como produto de potências aquelas potências cujo expoente possui somas.

3^2x + 3^{x + 1} = 18 (3^x)² + 3^x · 3¹= 18

Tome y = 3^x. Temos a seguinte equação em função de y:

y² + y · 3¹= 18 y² + 3y – 18 = 0

Vamos então resolver essa equação do 2° grau pela fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c Δ = 3² – 4.1.(– 18) Δ = 9 + 72 Δ = 81

y = – b ± √Δ
     2.a

y = – 3 ± √81
      2.1

y = – 3 ± 9
      2

y1= -3+9

        2 

y1= 6

       2

y1= 3

y2= -3-9 

          2 

y2= -12 

          2

y2= -6

Voltando à equação y = 3^x, temos:

                Para y₁ = 3

3^x = y 3^x = 3 x₁ = 1

Para y2 = – 6 3x = y 3x = – 6 x2 = Ø

Há, portanto, um único valor real para x. A solução da equação é x = 1.